Question

17．若順次連接四邊形ABCD四邊中點形成的四邊形為矩形，則四邊形ABCD滿足的條件為對角線垂直．

Answer 1

分析 這個四邊形ABCD的對角線AC和BD的關系是互相垂直．理由為：根據(jù)題意畫出相應的圖形，如圖所示，由四邊形EFGH為矩形，根據(jù)矩形的四個角為直角得到∠FEH=90°，又EF為三角形ABD的中位線，根據(jù)中位線定理得到EF與DB平行，根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補得到∠EMO=90°，同理根據(jù)三角形中位線定理得到EH與AC平行，再根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補得到∠AOD=90°，根據(jù)垂直定義得到AC與BD垂直．

解答 解：順次連接四邊形ABCD四邊中點形成的四邊形為矩形，則四邊形ABCD滿足的條件為對角線垂直，
理由：∵四邊形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵點E、F、分別是AD、AB、各邊的中點，
∴EF是三角形ABD的中位線，
∴EF∥BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵點E、H分別是AD、CD各邊的中點，
∴EH是三角形ACD的中位線，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
則AC⊥BD，故四邊形ABCD滿足的條件為對角線垂直．
故答案為：對角線垂直．

點評 此題考查了矩形的性質、三角形的中位線定理以及平行線的性質．這類題的一般解法是：借助圖形，充分抓住已知條件，找準問題的突破口，由淺入深多角度，多側面探尋，聯(lián)想符合題設的有關知識，合理組合發(fā)現(xiàn)的新結論，圍繞所探結論環(huán)環(huán)相加，步步逼近，所探結論便會被“逼出來”．