Question

9．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及直線BC的解析式，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由此即可得出線段MN的長(zhǎng)度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合點(diǎn)M在x軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；
（3）假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，n），結(jié)合（2）的結(jié)論可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)N、B的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段PN、PB、BN的長(zhǎng)度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論即可求出n值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=9+3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3．
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m²-4m+3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，
把點(diǎn)點(diǎn)B（3，0）代入y=kx+3中，
得：0=3k+3，解得：k=-1，
∴直線BC的解析式為y=-x+3．
∵M(jìn)N∥y軸，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-m+3）．
∵拋物線的解析式為y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，
∴點(diǎn)（1，0）在拋物線的圖象上，
∴1＜m＜3．
∵線段MN=-m+3-（m²-4m+3）=-m²+3m=-$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，線段MN取最大值，最大值為$\frac{9}{4}$．
（3）假設(shè)存在．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，n）．
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴PB=$\sqrt{（2-3）^{2}+（n-0）^{2}}$=$\sqrt{1+{n}^{2}}$，PN=$\sqrt{（2-\frac{3}{2}）^{2}+（n-\frac{3}{2}）^{2}}$，BN=$\sqrt{（3-\frac{3}{2}）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
△PBN為等腰三角形分三種情況：
①當(dāng)PB=PN時(shí)，即$\sqrt{1+{n}^{2}}$=$\sqrt{（2-\frac{3}{2}）^{2}+（n-\frac{3}{2}）^{2}}$，
解得：n=$\frac{1}{2}$，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$）；
②當(dāng)PB=BN時(shí)，即$\sqrt{1+{n}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得：n=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）或（2，$\frac{\sqrt{14}}{2}$）；
③當(dāng)PN=BN時(shí)，即$\sqrt{（2-\frac{3}{2}）^{2}+（n-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得：n=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（2，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）．
綜上可知：在拋物線的對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$）、（2，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）、（2，$\frac{\sqrt{14}}{2}$）、（2，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（2，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；（3）分類討論．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用配方法將二次函數(shù)解析式變形為頂點(diǎn)式，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題是關(guān)鍵．