Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，且四邊形AOCD是平行四邊形，過點(diǎn)D作⊙O的切線，分別交OA延長線與OC延長線于點(diǎn)E、F，連接BF．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）已知圓的半徑為1，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形AOCD是菱形，從而得到∠AOD=∠COD=60°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠FDO=90°，接著證明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）在Rt△OBF中，利用60度的正切的定義求解．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖，∵四邊形AOCD是平行四邊形，
而OA=OC，
∴四邊形AOCD是菱形，
∴△OAD和△OCD都是等邊三角形，
∴∠AOD=∠COD=60°，
∴∠FOB=60°，
∵EF為切線，
∴OD⊥EF，
∴∠FDO=90°，
在△FDO和△FBO中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠FOD=∠FOB}\\{FO=FO}\end{array}\right.$，
∴△FDO≌△FBO，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，
而tan∠FOB=$\frac{BF}{OB}$，
∴BF=1×tan60°=$\sqrt{3}$．
∵∠E=30°，
∴EF=2BF=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判斷與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．有切線時，常�！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．