Question

16．已知：四邊形ABCD是平行四邊形，BE平分∠ABC交AD于E，∠AEB=30°，AE=4cm．
（1）求∠C的度數(shù)和CD的長；
（2）若BC=6，求S_?ABCD．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，BE平分∠ABC，易證得△ABE是等腰三角形，繼而求得答案；
（2）首先過點A作AF⊥BC于點F，可得△ABF是含30°角的直角三角形，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，∠C=∠A，
∴∠CBE=∠AEB=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=4cm，
∴CD=AB=4cm；
∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=120°，
∴∠C=120°；

（2）過點A作AF⊥BC于點F，
∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=180°-∠BAD=60°，
∴∠BAF=90°-∠ABC=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2（cm），
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$（cm），
∴S_?ABCD=BC•AF=6×2$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．注意證得△ABE是等腰三角形，準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．