Question

15．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是在邊AB、BC、CD、DA上，且EG與FH的夾角為45°，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1．FH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，則EG的長(zhǎng)度是$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

Answer 1

分析 可過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N，將△AND繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△APB，不難得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM=MN，而MB的長(zhǎng)可在RT△ABM中根據(jù)AB和AM（即HF的長(zhǎng)）求出．如果設(shè)DN=x，那么NM=PM=BM+x，MC=BC-BM=1-BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的長(zhǎng)，進(jìn)而可在RT△AND中求出AN即EG的長(zhǎng)．

解答 解：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N，

∵AB=1，AM=FH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△ABM中，BM=$\sqrt{A{M}^{2}-A{B}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，將△AND繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△APB，
∵EG與FH的夾角為45°，
∴∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45
即∠PAM=∠MAN=45°，
從而△APM≌△ANM，
∴PM=NM，
設(shè)DN=x，則NC=1-x，NM=PM=$\frac{1}{2}$+x
在Rt△CMN中，（$\frac{1}{2}$+x）²=$\frac{1}{4}$+（1-x）²，
解得x=$\frac{1}{3}$，
∴EG=AN=$\sqrt{1+{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
答：EG的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
故答案為$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)．通過(guò)輔助線或圖形的旋轉(zhuǎn)將所求的線段與已知的線段構(gòu)建到一對(duì)全等或相似的三角形中是本題的基本思路．