Question

10．在△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑作圓O，交斜邊AB于E，D是AC的中點，連接DE．
（1）求證：DE是圓O的切線；
（2）DE=2，AE=$\frac{16}{5}$．求圓O的半徑．

Answer 1

分析 （1）證明△OCD≌△OED得到∠OCD=∠OED=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）過D作DF⊥AE于F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=DE=2，由等腰三角形的性質(zhì)得到AF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{8}{5}$，根據(jù)勾股定理得到DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{6}{5}$，通過相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AF}{AC}=\frac{DF}{BC}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OE，
∵點D為AC中點，點O為BC的中點，
∴OD為△CAB的中位線，
∴OD∥AB，
∴∠2=∠3，∠1=∠B，
而OB=OE，
∴∠3=∠B，
∴∠1=∠2，
在△OCD和△OED中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OE}\\{∠1=∠2}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OED，
∴∠OCD=∠OED=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）過D作DF⊥AE于F，
∵△OCD≌△OED，
∴CD=DE=2，
∵AD=CD，
∴AD=DE，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{8}{5}$，
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{6}{5}$，
∵∠AFD=∠ACB=90°∠A=∠A，
∴△ADF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{DF}{BC}$，
∴BC=3，
∴圓O的半徑=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．