Question

17．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接BC、AC，作OD∥BC，與過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：DE為⊙O的切線．
（2）若BE=6，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定得出△COD≌△AOD，推出∠DCO=∠DAO=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）設(shè)BC=a，則AB=$\sqrt{3}$a，求出AC=$\sqrt{2}$a，證△EBC∽△ECA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{EB}{EC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，求出EC=6$\sqrt{2}$，求出DA=DC=$\sqrt{2}$OB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
在Rt△DAE中，由勾股定理得出方程，求出a的值，即可得出答案．

解答 （1）證明：連接OC，
∵OD∥BC，
∴∠OBC=∠DOA，∠DOC=∠BCO，
∵BO=OC，
∴∠OBC=∠BCO，
∴∠AOD=∠COD，
在△COD和△AOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}\\{∠COD=∠AOD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△AOD（SAS），
∴∠DCO=∠DAO，
∵AD是⊙O的切線，
∵∠DAO=90°，
∴∠DCO=90°，
即OC⊥DE，
∵OC為半徑，
∴DE是⊙O的切線；

（2）設(shè)BC=a，則AB=$\sqrt{3}$a，
所以AC=$\sqrt{2}$a，
∵DE為⊙O的切線，
∴∠BCE=∠CAE，
∵∠E=∠E，
∴△EBC∽△ECA，
∴$\frac{EB}{EC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴EC=6$\sqrt{2}$，
又∵OD∥BC，
∴$\frac{OB}{CD}$=$\frac{EB}{EC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴DA=DC=$\sqrt{2}$OB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
在Rt△DAE中，由勾股定理得：（$\frac{\sqrt{6}}{2}$a）²+（$\sqrt{3}$a+6）²=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$a+6$\sqrt{2}$）²，
解得：a=2$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，切線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．