Question

4．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，設(shè)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F．
（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑的長．

Answer 1

分析 （1）延長DA到G點(diǎn)，使AG=AB，然后分別以A、G為圓心，AE、BE為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)F，則△AGF即為所作；
（2）點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑是以A點(diǎn)為圓心，AB為半徑．圓心角為90°的弧，然后根據(jù)弧長公式求解．

解答 解：（1）如圖，△AGF為所作；

（2）∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=1，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AGF，
∴∠EAF=90°，
∴點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑的長=$\frac{90•π•\sqrt{5}}{180}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了弧長公式．