Question

9．已知，如圖，直線l₁，l₂，l₃是三條等距的平行線，將一塊含30°角的直角三角板如圖放置，使直角頂點C落在l₂上，另兩個頂點A與B剛好分落在l₁與l₃上，AB與l₂交于點D
（1）求證：AD=BD；
（2）若BD=2，求直線l₁，l₂，l₃之間的距離．

Answer 1

分析 （1）過點C作l₂的垂線分別交l₁與l₃于點E、F，由平行線分線段成比例可直接得出結(jié)論；
（2）由（1）知D是AB中點，再加上∠A=30°，可得出三角形BCD是等邊三角形，線l₁，l₂，l₃之間的距離就是等邊三角形的高．

解答 解：（1）過點C作l₂的垂線分別交l₁與l₃于點E、F，如圖，

∵l₁∥l₂∥l₃，且EC=CF，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{EC}{CF}=1$，
∴AD=BD；
（2）∵∠A=30°，∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=BD=BC，
即：△BCD是等邊三角形，
∴CF=BC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}BC=\frac{\sqrt{3}}{2}BD$=$\sqrt{3}$．
即：l₁，l₂，l₃之間的距離為$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了平行線平線段成比例、含30°的直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等知識點，難度不大．第（1）問其實體現(xiàn)了一種證明線段相等的方法，也體現(xiàn)了平行線具有轉(zhuǎn)移線段關(guān)系的重要功能，要引起重視，并能將這里的方法自覺運用到其也相關(guān)題的解答當中．