Question

14．如圖，已知以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為F．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）已知M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與C點(diǎn)重合），試探究：
①使得以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形面積與△ABC的面積相等，求所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CFP是以CF為底的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，由于OE=3，EA=EB=EC=4，則OA=2，OB=8，于是可得到A（-2，0），B（8，0），連結(jié)CE，利用勾股定理可計(jì)算出OC=4，所以C（0，-4）；
（2）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+2）（x-8），再把C（0，-4）代入可求出a=$\frac{1}{4}$，于是得到拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8），然后把解析式配成頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）①設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4），如圖1，利用三角形面積公式得到|$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4|=4，然后分別解方程$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=4和方程$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=-4即得到滿足條件的M點(diǎn)坐標(biāo)；
②如圖2，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，作CF的垂直平分線交直線x=3于P，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得PC=PF，設(shè)P（3，t），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到3²+（t+4）²=（t+$\frac{25}{4}$）²，然后解方程求出t即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，
∵E（3，0），
∴OE=3，
∵EA=EB=EC=4，
∴OA=2，OB=8，
∴A（-2，0），B（8，0），
連結(jié)CE，
在Rt△OCE中，OC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴C（0，-4）；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8），
把C（0，-4）代入得a•2•（-8）=4，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8），即y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4，
∵y=$\frac{1}{4}$（x-3）²-$\frac{25}{4}$，
∴拋物線的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，-$\frac{25}{4}$）；
（3）①設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4），如圖1，
∵S_△ABM=S_△ABC，
∴|$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4|=4，
當(dāng)$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=4，
整理得x²-6x-32=0，解得x₁=3+$\sqrt{41}$，x₂=3-$\sqrt{41}$，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（3+$\sqrt{41}$，4）或（3-$\sqrt{41}$，4），
當(dāng)$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=-4，
整理得x²-6x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=6，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（6，-4），
綜合所述，滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3+$\sqrt{41}$，4）或（3-$\sqrt{41}$，4）或（6，-4）；
②存在．
如圖2，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，
作CF的垂直平分線交直線x=3于P，則PC=PF，
設(shè)P（3，t），而C（0，-4），F(xiàn)（3，-$\frac{25}{4}$），
∴3²+（t+4）²=（t+$\frac{25}{4}$）²，解得t=-$\frac{25}{8}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-$\frac{25}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和圓的有關(guān)性質(zhì)；能利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式和三角形面積公式．