Question

20．某工廠生產(chǎn)一種合金薄板（其厚度忽略不計(jì)），這些薄板的形狀均為正方形，邊長(zhǎng)（單位：cm）在5～50（含5和50）之間，每張薄板的成本價(jià)（單位：元）與它的面積（單位：cm²）成正比例，每張薄板的出廠價(jià)（單位：元）由基礎(chǔ)價(jià)和浮動(dòng)價(jià)兩部分組成，其中基礎(chǔ)價(jià)與薄板的大小無關(guān)，是固定不變的，浮動(dòng)價(jià)與薄板的邊長(zhǎng)成正比例，在營(yíng)銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù)：

薄板的邊長(zhǎng)（cm）	20	30
出廠價(jià)（元/張）	50	70

（1）求一張薄板的出廠價(jià)y與邊長(zhǎng)x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）已知出廠一張邊長(zhǎng)為40cm的薄板，獲得利潤(rùn)是26元（利潤(rùn)=出廠價(jià)-成本價(jià)）．
①求一張薄板的利潤(rùn)W與邊長(zhǎng)x這之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)邊長(zhǎng)為多少厘米時(shí)，出廠一張薄板獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）①首先假設(shè)一張薄板的利潤(rùn)為W元，它的成本價(jià)為mx²元，由題意，得：W=y-mx²，進(jìn)而得出m的值，求出函數(shù)解析式即可；
②利用二次函數(shù)的最值公式求出二次函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）設(shè)一張薄板的邊長(zhǎng)為xcm，它的出廠價(jià)為y元，基礎(chǔ)價(jià)為n元，浮動(dòng)價(jià)為kx元，則y=kx+n．
由表格中的數(shù)據(jù)，得$\left\{\begin{array}{l}{50=20k+n}\\{70=30k+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{n=10}\end{array}\right.$，
所以y與邊長(zhǎng)x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式為：y=2x+10（5≤x≤50）；

（2）①設(shè)一張薄板的利潤(rùn)為W元，它的成本價(jià)為mx²元，由題意，得：
W=y-mx²=2x+10-mx²，
將x=40，W=26代入W=2x+10-mx²中，
得26=2×40+10-m×40²．
解得：m=$\frac{1}{25}$．
所以W=-$\frac{1}{25}$x²+2x+10．

②因?yàn)閍=-$\frac{1}{25}$＜0，所以，當(dāng)x=-$\frac{2a}$=-$\frac{2}{2×（-\frac{1}{25}）}$═25（在5～50之間）時(shí)，
W_最大值=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{4×（-\frac{1}{25}）×10-{2}^{2}}{4×（-\frac{1}{25}）}$=35．
即出廠一張邊長(zhǎng)為25cm的薄板，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是35元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的最值求法以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．