Question

18．已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點(diǎn)D、E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接DO，要證明DF為⊙O的切線只要證明∠FDP=90°即可；
（2）首先由已知可得到CD，CF的長(zhǎng)，從而利用勾股定理可求得DF的長(zhǎng)；再連接OE，求得CF，EF的長(zhǎng)，從而利用S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED求得陰影部分的面積．

解答 解：
（1）證明：連接DO．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠C=60°．
∵OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形．
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF為⊙O的切線；
（2）∵△OAD是等邊三角形，
∴AD=AO=$\frac{1}{2}$AB=2．
∴CD=AC-AD=2．
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=1．
∴DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$，
連接OE，則CE=2．
∴CF=1，
∴EF=1．
∴S_{直角梯形FDOE}=$\frac{1}{2}$（EF+OD）•DF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴S_扇形OED=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
∴S_陰影=S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生對(duì)切線的判定及扇形的面積等知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和利用割補(bǔ)法計(jì)算補(bǔ)規(guī)則圖形的面積．