Question

6．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AC上，以O(shè)A為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：∠EDB=∠B．
（2）若sinB=$\frac{3}{5}$，AB=10，OA=2，求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等角的余角相等即可證明；
（2）作OF⊥AB于F，EH⊥AB于H．首先證明∠AOF=∠B，根據(jù)sin∠AOF=$\frac{AF}{OA}$=$\frac{3}{5}$，求出AF、AD、BD，再在Rt△DEH中，解直角三角形即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵DE是⊙O的切線(xiàn)，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EDB=∠B．

（2）解：作OF⊥AB于F，EH⊥AB于H．
∵∠A+∠AOF=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠AOF=∠B，
∴sin∠B=sin∠AOF=$\frac{3}{5}$=$\frac{AF}{OA}$，
∵OA=2，
∴AF=$\frac{6}{5}$，
∵OF⊥AD，
∴AD=2AF=$\frac{12}{5}$，
∴DB=AB-AD=10-$\frac{12}{5}$=$\frac{38}{5}$，
∵∠EDB=∠B，
∴ED=EB，∵EH⊥DB，
∴DH=BH=$\frac{19}{5}$，
∵sin∠EDB=sin∠B=$\frac{EH}{DE}$=$\frac{3}{5}$，設(shè)EH=3k，DE=5k，
在Rt△DEH中，∵DE²=DH²+EH²，
∴DH=4k=$\frac{19}{5}$，
∴k=$\frac{19}{20}$，
∴DE=5k=$\frac{19}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)，解直角三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．