Question

7．已知△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，∠EDF=90°
（1）如圖1，若E、F分別在AC、BC邊上，猜想AE²、BF²和EF²之間有何等量關系，并證明你的猜想；
（2）若E、F分別在CA、BC的延長線上，請在圖2中畫出相應的圖形，并判斷（1）中的結論是否仍然成立（不作證明）

Answer 1

分析 （1）結論：AE²+BF²=EF²．如圖1中，延長FD到M，使得DM=DF，連接AM，EM．首先證明△ADM≌△BDF，得到AM=FB，再證明△AEM是直角三角形，理由勾股定理即可解決問題．
（2）結論不變，證明方法類似．

解答 （1）結論：AE²+BF²=EF²．
理由：如圖1中，延長FD到M，使得DM=DF，連接AM，EM．

在△ADM和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DB}\\{∠ADM=∠BDF}\\{DM=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，∠B=∠MAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=90°，
∵∠EDF=90°，
∴ED⊥FM，∵DM=DF，
∴EM=EF，
在Rt△AEM中，∵AE²+AM²=EM²，
∴AE²+BF²=EF²．

（2）如圖2中，結論不變．AE²+BF²=EF²

理由：延長FD到M，使得DM=DF，連接AM，EM．
在△ADM和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DB}\\{∠ADM=∠BDF}\\{DM=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，∠B=∠MAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=∠CAM=90°，
∵∠EDF=90°，
∴ED⊥FM，∵DM=DF，
∴EM=EF，
在Rt△AEM中，∵AE²+AM²=EM²，
∴AE²+BF²=EF²．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．