Question

8．已知：如圖所示，CD是直角△ABC的斜邊中線，過點(diǎn)D垂直于AB的直線交BC于點(diǎn)F，交AC的延長線于點(diǎn)E，求證：CD²=DF•DE．

Answer 1

分析 由CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，得出CD=DB，根據(jù)等邊對等角得∠DCE=∠F，則可證明△CDE∽△FDC，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠A+∠E=90°，
∴∠B=∠E，
∵CD是直角△ABC的斜邊中線，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴∠B=∠DCF，
∴∠E=∠DCF，
又∵∠CDE=∠FDC，
∴△CDE∽△FDC，
∴$\frac{CD}{DF}=\frac{DE}{CD}$，
∴CD²=DF•DE．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，證明三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．