Question

14．如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，點E在⊙O上，CE=CA，AB，CE的延長線交于點F．
（1）求證：CE與⊙O相切；
（2）若⊙O的半徑為3，EF=4，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OE，OC，通過三角形求得證得∠OEC=∠OAC，從而證得OE⊥CF，即可證得結論；
（2）根據勾股定理求得OF，解直角三角形求得$tanF=\frac{OE}{EF}=\frac{3}{4}$．進而求得AC=6，從而求得△ABC是等腰直角三角形，根據勾股定理求得BC，然后根據等腰三角形三線合一的性質求得DB即可．

解答 （1）證明：連接OE，OC．
在△OEC與△OAC中，
$\left\{\begin{array}{l}OE=OA\\ OC=OC\\ CE=CA\end{array}\right.$
∴△OEC≌△OAC（SSS），
∴∠OEC=∠OAC．
∵∠OAC=90°，
∴∠OEC=90°．
∴OE⊥CF于E．
∴CF與⊙O相切．
（2）解：連接AD．
∵∠OEC=90°，
∴∠OEF=90°．
∵⊙O的半徑為3，
∴OE=OA=3．
在Rt△OEF中，∠OEF=90°，OE=3，EF=4，
∴$OF=\sqrt{O{E^2}+E{F^2}}=5$，$tanF=\frac{OE}{EF}=\frac{3}{4}$．
在Rt△FAC中，∠FAC=90°，AF=AO+OF=8，
∴AC=AF•tanF=6，
∵AB為直徑，
∴AB=6=AC，∠ADB=90°．
∴BD=$\frac{BC}{2}$．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴$BC=\sqrt{A{B^2}+A{C^2}}=6\sqrt{2}$．
∴BD=$3\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的性質，三角形全等的判定和性質，勾股定理的應用，解直角三角形等，作出輔助線構建直角三角形是本題的關鍵．