Question

11．如圖，圓錐的母線長是6，底面半徑是2，A是底面圓周上的一點，從點A出發(fā)繞側面一周，再回到點A的最短路線的長是6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 把圓錐的側面展開，如圖，作SH⊥AA′，設∠ASA′=n°，利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式可計算出n=120°，即∠ASA′=120°，在Rt△ASH中計算出AH=3$\sqrt{3}$，于是得到AA′=2AH=6$\sqrt{3}$，然后利用兩點之間線段最短得到從點A出發(fā)繞側面一周，再回到點A的最短路線的長．

解答 解：把圓錐的側面展開，如圖，作SH⊥AA′，設∠ASA′=n°，
根據(jù)題意得2•π•2=$\frac{n•π•6}{180}$，解得n=120°，
即∠ASA′=120°，
∵SA=SA′，SH⊥AA′，
∴∠A′AS=30°，AH=A′H，
在Rt△ASH中，∵SA=6，
∴SH=$\frac{1}{2}$SA=3，
∴AH=3$\sqrt{3}$，
∴AA′=2AH=6$\sqrt{3}$，
∴從點A出發(fā)繞側面一周，再回到點A的最短路線的長為6$\sqrt{3}$．
故答案為6$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．解決本題的關鍵是把立體幾何問題轉化為平面幾何問題．