Question

16．對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a+kb，ka+b）（其中k為常數(shù)且k≠0），則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P的“k類生長點(diǎn)”．
（1）點(diǎn)P（1，4）的“2類生長點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（9，6）；
（2）若點(diǎn)P（a，b）在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P的“1類生長點(diǎn)”為P′點(diǎn)，點(diǎn)A（3，4），若四邊形OPP′A是菱形，試求該菱形的面積．

Answer 1

分析 （1）利用“k類生長點(diǎn)”的定義求解；
（2）先得到點(diǎn)P的“1類生長點(diǎn)”為P′點(diǎn)坐標(biāo)為（a+b，a+b），則可判斷點(diǎn)P′在第一象限的角平分線上，再利用菱形的性質(zhì)可判斷點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于OP′對稱，所以P（4，3），則P′（7，7），然后利用勾股定理計(jì)算出
∴AP和OP′，再利用菱形的面積公式求解．

解答 解：（1）點(diǎn)P（1，4）的“2類生長點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）；
故答案為（9，6）；
（2）∵點(diǎn)P的“1類生長點(diǎn)”為P′點(diǎn)坐標(biāo)為（a+b，a+b），
∴點(diǎn)P′在第一象限的角平分線上，
∵四邊形OPP′A是菱形，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于OP′對稱，
∴P（4，3），
∴P′（7，7），
∴AP=$\sqrt{2}$，OP′=7$\sqrt{2}$，
∴該菱形的面積=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×7$\sqrt{2}$=7．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．熟練掌握菱形的性質(zhì)（菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)； 菱形的四條邊都相等； 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角）． 解決（1）小題的關(guān)鍵是理解“k類生長點(diǎn)”的定義．