Question

6．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O在AC上，以OA為半徑的⊙O交AB于點D，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求線段DE的長．

Answer 1

分析 （1）直線DE與圓O相切，理由如下：連接OD，由OD=OA，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠ODE為直角，即可得證；
（2）連接OE，設DE=x，則EB=ED=x，CE=8-x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的得到x的值，即可確定出DE的長．

解答 解：（1）直線DE與⊙O相切，理由如下：
連接OD，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分線，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°-90°=90°，
∴直線DE與⊙O相切；
（2）連接OE，
設DE=x，則EB=ED=x，CE=8-x，
∵∠C=∠ODE=90°，
∴OC²+CE²=OE²=OD²+DE²，
∴4²+（8-x）²=2²+x²，
解得：x=4.75，
則DE=4.75．

點評 此題考查了直線與圓的位置關系，以及線段垂直平分線定理，熟練掌握直線與圓相切的性質是解本題的關鍵．