Question

1．已知：如圖，BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB．
（1）求證：∠Q=∠2；
（2）求證：AP⊥AQ．

Answer 1

分析 （1）由△ACQ≌△PBA，（SAS）推出AP=AQ，∠Q=∠BAP，由∠Q+∠QAB=90°，推出∠BAP+∠QAB=90°，推出AP⊥AQ，再利用等角的余角相等即可證明；
（2）見（1）中證明；

解答 解：（1）∵CF、BE是△ABC的高，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ACQ+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠ACQ，
∵在△ACQ和△PBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=AC}\\{∠ABE=∠ACQ}\\{CQ=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACQ≌△PBA，（SAS）
∴AP=AQ，∠Q=∠BAP，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠BAP+∠QAB=90°，
∴AP⊥AQ，
∴∠2+∠APF=90°，∠Q+∠APF=90°，
∴∠Q=∠2．

（2）見（1）中證明．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等角的余角相等等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．