Question

15．如圖，BE，BC，CG分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點，且BE∥CG．
（1）求證：B0⊥CO；
（2）延長B0交CG的延長線于D，連接FG，若$\frac{FG}{BD}$=$\frac{4}{5}$，求tan∠BCD的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，根據(jù)切線長定理以及平行線的性質即可證明．
（2）如圖2中，連接OC交FG于N，作FM⊥CD于M．由FG∥BD，得$\frac{FG}{BD}$=$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CN}{OC}$=$\frac{4}{5}$，設CN=4k，OC=5k，想辦法求出FM、CM即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，∵BE、BC、CG是⊙O切線，
∴∠OBE=∠OBF，∠OCF=∠OCG，
∵EB∥CG，
∴∠EBC+∠GCB=180°，
∴2∠OBC+2∠OCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∴OB⊥OC．
（2）解：如圖2中，連接OC交FG于N，作FM⊥CD于M，則OF⊥CF．
∵CG=CF，∠OCG=∠OCF，
∴OC⊥FG，∴OC⊥BD，
∴FG∥BD，
∴$\frac{FG}{BD}$=$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CN}{OC}$=$\frac{4}{5}$，設CN=4k，OC=5k，
∴ON=k，
∵OF²=ON•OC，CF²=CN•CO，F(xiàn)N²=ON•CN，
∴OF=$\sqrt{5}$k，CF=CG=2$\sqrt{5}$k，F(xiàn)N=2k，
∵$\frac{1}{2}$FG•CN=$\frac{1}{2}$•CG•FM，
∴FM=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$k，
∴CM=$\sqrt{C{F}^{2}-F{M}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}k）^{2}-（\frac{8\sqrt{5}}{5}k）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$k，
∴tan∠BCD=$\frac{FM}{CM}$=$\frac{\frac{8\sqrt{5}}{5}k}{\frac{6\sqrt{5}}{5}k}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查切線的性質、切線長定理、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形，記住射影定理的應用，屬于中考常考題型．