Question

3．已知四邊形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角頂點(diǎn)E在直線上（不與點(diǎn)B重合），F(xiàn)M⊥AD，交邊AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)H．
（1）如圖1，當(dāng)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：AB=EB+AM；
（2）如圖2，當(dāng)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若BE=$\sqrt{3}$，△AFM=15°，求AM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得AE=EF，∠ABE=∠EHF=90°，由AAS證明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性質(zhì)定理可得結(jié)論；
（2）同（1）先證明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性質(zhì)定理可得BE=BH+EH=AM+AB；求出∠EFH=30°，由△ABE≌△EHF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)易得∠AEB，利用銳角三角函數(shù)易得AB，即可得出AM的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠FEH=∠EAB，
在△ABE與△EHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF}&{\;}\\{∠EAB=∠FEH}&{\;}\\{AE=FE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH=EB+BH=EB+AM；
（2）解：∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
在△ABE與△EHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF}&{\;}\\{∠EAB=∠FEH}&{\;}\\{AE=FE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH，
∴BE=BH+EH=AM+AB；
∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，
∴∠EFH=45°-15°=30°，
∴∠AEB=30°，
∵BE=$\sqrt{3}$，
∴AB=BE•tan30°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
∵BE=AM+AB，
∴AM=BE-AB=$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及判定定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．