Question

2．函數(shù)y₁=ax²（a≠0）與直線y₂=2x-3交于點(diǎn)A（1，b）、B（m，n）．
（1）求b的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）當(dāng)x取何值時(shí)，二次函數(shù)y=ax²中的y隨x的增大而增大？
（4）直接寫出當(dāng)x為何值時(shí)，y₁＞y₂，y₁=y₂，y₁＜y₂；
（5）求拋物線與直線y=-2的兩個(gè)交點(diǎn)及頂點(diǎn)所圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，b）代入函數(shù)y₂的解析式求出b，再代入函數(shù)y₁的解析式求出a，列出方程組即可確定B點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）利用待定系數(shù)法即可解決．
（3）利用二次函數(shù)的增減性即可解決．
（4）畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可一一解決．
（5）利用方程組求出拋物線與直線y=-2的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可解決問題．

解答 解：（1）∵直線y₂=2x-3經(jīng)過點(diǎn)A（1，b）、
∴b=2-3=-1，
∵y₁=ax²（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，-1）、
∴a=-1，
∵點(diǎn)B（m，n）在函數(shù)y₁=-x²（a≠0）與直線y₂=2x-3上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}=n}\\{2m-3=n}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=-9}\end{array}\right.$，
∵點(diǎn)A（1，-1）、
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-3，-9）．

（2）由（1）可知拋物線的解析式為y=-x²．

（3）∵拋物線y=-x²的對(duì)稱軸是x=0，a=-1＜0，
∴拋物線開口向下，
∴x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大．

（4）由圖象可知，
當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，y₁＞y₂，
當(dāng)x=-3或1時(shí)，y₁=y₂，
當(dāng)x＜-3或x＞1時(shí)，y₁＜y₂．


（5）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2}\\{y=-{x}^{2}}\end{array}\right.$解得x=$±\sqrt{2}$，
∴拋物線與直線y=-2的交點(diǎn)坐標(biāo)為E（-$\sqrt{2}$，-2），F(xiàn)（$\sqrt{2}$，-2）．
∴S_△EOF=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{2}$×2=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法，三角形的面積，函數(shù)的增減性等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用圖象根據(jù)要求確定自變量的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題，中考�？碱}型．