Question

4．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3$\sqrt{2}$）．
（1）求此拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)BC、BD、CD，求證：△BCD是直角三角形；
（3）過(guò)點(diǎn)B作射線BM∥CD，E是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BE=t．作EF⊥BC交射線BM于點(diǎn)F．
①證明：△EBF∽△DCB；
②連結(jié)CF，當(dāng)△ECF與△DCB相似時(shí)，求出t的值；
③記S=S_△ECF-S_△EBF，請(qǐng)直接寫(xiě)出S取到最大值時(shí)，t的值和△EBF內(nèi)切圓半徑r．

Answer 1

分析 （1）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+2）（x-6），再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，則可得到拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²+$\sqrt{2}$x+3$\sqrt{2}$，然后把解析式配成頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出CD=$\sqrt{6}$，BD=4$\sqrt{3}$，BC=3$\sqrt{6}$，再利用勾股定理的逆定理判斷△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
（3）①利用BM∥CD可得∠DBM=90°，再利用等角的余角相等得到∠DBC=∠EFB，然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到△EBF∽△DCB；
②由于△EBF∽△DCB，則利用相似比可計(jì)算出EF=2$\sqrt{2}$t，然后分類(lèi)討論：當(dāng)△EFC∽△DCB時(shí)，$\frac{EF}{DC}$=$\frac{EC}{DB}$，即$\frac{2\sqrt{2}t}{\sqrt{6}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{4\sqrt{3}}$；當(dāng)△EFC∽△DBC時(shí)，$\frac{EF}{DB}$=$\frac{EC}{DC}$，即$\frac{2\sqrt{2}t}{4\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{\sqrt{6}}$，再分別利用比例性質(zhì)求出t即可；
③利用三角形面積公式得到S=S_△ECF-S_△EBF=$\frac{1}{2}$EF（CE-BE）=-2$\sqrt{2}$t²+6$\sqrt{3}$t，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)t=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$時(shí)，S取最大值，此時(shí)BE=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，EF=2$\sqrt{2}$t=3$\sqrt{3}$，接著利用勾股定理計(jì)算出BF=$\frac{9\sqrt{6}}{4}$，然后根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半求r即可．

解答 （1）解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-6），
把C（0，3$\sqrt{2}$）代入得a•2•（-6）=3$\sqrt{2}$，解得a=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x+2）（x-6），即y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²+$\sqrt{2}$x+3$\sqrt{2}$，
∵y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-2）²+4$\sqrt{2}$，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4$\sqrt{2}$）；
（2）證明：如圖1，

∵B（6，0），C（0，3$\sqrt{2}$），D（2，4$\sqrt{2}$），
∴CD=$\sqrt{{2}^{2}+（4\sqrt{2}-3\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，BD=$\sqrt{（2-6）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{{6}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{6}$，
∵（$\sqrt{6}$）²+（4$\sqrt{3}$）²=（3$\sqrt{6}$）²，
∴CD²+BD²=BC²，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°
（3）①證明：如圖2，

∵BM∥CD，
而∠BDC=90°，
∴∠DBM=90°，
即∠DBC+∠FBC=90°，
∵FE⊥BC，
∴∠FBE+∠EFB=90°，
∴∠DBC=∠EFB，
而∠BDC=∠FEB，
∴△EBF∽△DCB；
②解：如圖3，

∵△EBF∽△DCB，
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{BE}{CD}$，即$\frac{EF}{4\sqrt{3}}$=$\frac{t}{\sqrt{6}}$，解得EF=2$\sqrt{2}$t，
當(dāng)△EFC∽△DCB時(shí)，$\frac{EF}{DC}$=$\frac{EC}{DB}$，即$\frac{2\sqrt{2}t}{\sqrt{6}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{4\sqrt{3}}$，解得t=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
當(dāng)△EFC∽△DBC時(shí)，$\frac{EF}{DB}$=$\frac{EC}{DC}$，即$\frac{2\sqrt{2}t}{4\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{\sqrt{6}}$，解得t=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
綜上所述，t的值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$或$\frac{3\sqrt{6}}{2}$；
③解：S=S_△ECF-S_△EBF=$\frac{1}{2}$•CE•EF-$\frac{1}{2}$BE•EF=$\frac{1}{2}$EF（CE-BE）=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$t•（3$\sqrt{6}$-t-t）=-2$\sqrt{2}$t²+6$\sqrt{3}$t，
當(dāng)t=-$\frac{6\sqrt{3}}{2×（-2\sqrt{2}）}$=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$時(shí)，S取最大值，此時(shí)BE=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，EF=2$\sqrt{2}$t=3$\sqrt{3}$，
所以BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{6}}{4}$，
所以△EBF內(nèi)切圓半徑r=$\frac{\frac{3\sqrt{6}}{4}+3\sqrt{3}-\frac{9\sqrt{6}}{4}}{2}$=$\frac{6\sqrt{3}-3\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)用待定系數(shù)法求拋物線解析式；能運(yùn)用勾股定理的逆定理證明直角三角形；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，能利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)和運(yùn)用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)．