Question

4．四邊形ACBD中，AB、CD交于O，AB=CD，E、F是BC、AD的中點，判斷△OMN的形狀．

Answer 1

分析 △OMN為等腰三角形，理由為：取AC的中點P，連接PE，PF，如圖所示，利用中位線定理得到PE與AB平行，且PE等于AB的一半，同時得到一對同位角相等；同理得到PF為中位線，得到PF與CD平行，且PF等于CD的一半，由AB=CD，得到PE=PF，利用等邊對等邊及等量代換得到∠OMN=∠ONM，利用等角對等邊即可得證．

解答 解：△OMN為等腰三角形，理由為：
取AC的中點P，連接PE，PF，如圖所示，
∵E為BC中點，即PE為△ABC中位線，
∴PE∥AB，且PE=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠OMN=∠FEP，
同理PF為△ACD的中位線，
∴PF∥CD，且PF=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠ONM=∠EFP，
∵AB=CD，
∴PE=PF，
∴∠EFP=∠FEP，
∴∠OMN=∠ONM，
則OM=ON，即△OMN為等腰三角形．

點評 此題考查了三角形中位線定理，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理是解本題的關(guān)鍵．