Question

12．如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，點O是對角線AC的中點，連結(jié)BO．動點P，Q從點B同時出發(fā)，點P沿B→C→B以2cm/s的速度運動到終點B．點Q沿B→A以1cm/s的速度運動到終點A．以BP、BQ為邊作矩形BPMQ（點M不與點A重合）．設(shè)矩形BPMQ與△OBC重疊部分圖形的面積為y（cm²），點P的運動時間為x（s）．
（1）當(dāng)點M在AC上時，求x的值；
（2）直接寫出點O在矩形BPMQ內(nèi)部時x的取值范圍；
（3）當(dāng)矩形BPMQ與△OBC重疊部分的圖形是四邊形時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）直接寫出直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3的兩部分時x的值．

Answer 1

分析 （1）先求出∠MPC=∠ABC=90°，再根據(jù)tan∠MCP=tan∠ACB，得出$\frac{MP}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，$\frac{x}{4-2x}$=$\frac{3}{4}$，求出x即可；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，即可得出x的取值范圍；
（3）根據(jù)S_△ABC=6，點O是對角線AC的中點，得出S_△OBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=3，分三種情況討論：①當(dāng)0＜x≤$\frac{6}{5}$時，設(shè)OB與QM的交點為E，根據(jù)$\frac{QE}{QB}$=$\frac{BC}{AB}$得出QE=$\frac{4}{3}$x，根據(jù)y=S_矩形BPMQ-S_△BEQ代入計算即可；②當(dāng)$\frac{3}{2}$≤x＜2時，設(shè)OC與PM的交點為F，根據(jù)$\frac{PF}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，得出PF=$\frac{3}{4}$（4-2x），根據(jù)y=S_△BOC-S_△PCF代入計算即可；③當(dāng)2＜x＜3時，設(shè)OC與PM的交點為G，根據(jù)$\frac{PG}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，得出PG=$\frac{3}{4}$（2x-4），根據(jù)y=S_△BOC-S_△PCG代入計算即可；      
（4）①當(dāng)0＜x≤1時，此時直線AM經(jīng)過BC的中點N，根據(jù)PM∥AB，得出$\frac{PM}{AB}=\frac{PN}{BN}$，$\frac{x}{3}=\frac{2-2x}{2}$，求出x；
②當(dāng)1＜x≤2時，此時直線AM經(jīng)過CD的中點E．過點E作EF⊥AB，垂足為點F，根據(jù)EF∥QM，得出$\frac{AQ}{AF}$=$\frac{QM}{EF}$，$\frac{3-x}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2x}{4}$，求出x，當(dāng)2＜x≤4時，PM＞$\frac{12}{7}$，直線AM不再經(jīng)過點E．

解答 解：（1）如圖①，
∵在矩形ABCD中，
∴∠ABC=90°．
∵∠MPC=∠ABC=90°，
∴tan∠MCP=tan∠ACB．
∴$\frac{MP}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{x}{4-2x}$=$\frac{3}{4}$，
∴x=$\frac{6}{5}$；                                                      

（2）如圖②、③，x的取值范圍是$\frac{3}{2}$＜x＜3；                             

（3）∵在矩形ABCD中，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6．
∵點O是對角線AC的中點，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=3．
①當(dāng)0＜x≤$\frac{6}{5}$時，如圖④，設(shè)OB與QM的交點為E．               
∵tan∠QBE=tan∠CAB，
∴$\frac{QE}{QB}$=$\frac{BC}{AB}$．
∴$\frac{QE}{x}$=$\frac{4}{3}$．
∴QE=$\frac{4}{3}$x．
∴y=S_矩形BPMQ-S_△BEQ=x•2x-$\frac{1}{2}$x•$\frac{4}{3}$x=$\frac{4}{3}$x²．                  
②當(dāng)$\frac{3}{2}$≤x＜2時，如圖⑤，設(shè)OC與PM的交點為F．               
∵tan∠BCA=tan∠PCF，
∴$\frac{PF}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$．
∴$\frac{PF}{4-2x}$=$\frac{3}{4}$．
∴PF=$\frac{3}{4}$（4-2x）．
∴y=S_△BOC-S_△PCF=3-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$（4-2x）²=-$\frac{3}{2}$x²+6x-3．          
③當(dāng)2＜x＜3時，如圖⑥，設(shè)OC與PM的交點為G．                
∵tan∠BCA=tan∠PCG，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$．
∴$\frac{PG}{2x-4}$=$\frac{3}{4}$．
∴PG=$\frac{3}{4}$（2x-4）．
∴y=S_△BOC-S_△PCG=3-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$（2x-4）²=-$\frac{3}{2}$x²+6x-3．          
綜合所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}{x}^{2}（0＜x≤\frac{6}{5}）}\\{-\frac{3}{2}{x}^{2}+6x-3（\frac{3}{2}≤x＜2）}\\{-\frac{3}{2}{x}^{2}+6x-3（2＜x＜3）}\end{array}\right.$；

（4）x=$\frac{3}{4}$或x=$\frac{12}{7}$．
①當(dāng)0＜x≤1時，如圖⑦，此時直線AM經(jīng)過BC的中點N．
∵PM∥AB，
∴△PMN∽△BAN．
∴$\frac{PM}{AB}=\frac{PN}{BN}$．
∴$\frac{x}{3}=\frac{2-2x}{2}$．
∴x=$\frac{3}{4}$．
②當(dāng)1＜x≤2時，如圖（8），此時直線AM經(jīng)過CD的中點E．過點E作EF⊥AB，垂足為點F．
∵EF∥QM，
∴△AMQ∽△AEF．
∴$\frac{AQ}{AF}$=$\frac{QM}{EF}$，
∴$\frac{3-x}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2x}{4}$
∴x=$\frac{12}{7}$．
當(dāng)2＜x≤4時，PM＞$\frac{12}{7}$，直線AM不在經(jīng)過點E．

點評 此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，注意分類討論．