Question

1．有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，AB=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，∠E=45°，EF=6．將這副直角三角板按如圖1所示位置擺放，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)E、F、A、C在同一條直線上．現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF以每秒1個(gè)單位的速度沿邊AC勻速運(yùn)動(dòng)，DF與AB相交于點(diǎn)M．
（1）如圖2，連接ME，若∠EMA=67.5°，求證：△DEM≌△AEM；
（2）如圖3，在三角板DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，當(dāng)三角板DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AB邊上時(shí)，三角板DEF停止移動(dòng)，點(diǎn)N也隨之停止移動(dòng)．連接FN，設(shè)四邊形AFNB的面積為y，在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，y存在最小值，請(qǐng)求出y的最小值；
（3）在（2）的條件下，在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻，使E、M、N三點(diǎn)共線，若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)直接回答．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠MED=∠MEA=22.5°，即可利用AAS證明△DEM≌△AEM．
（2）如圖2中，作FG⊥CB，垂足為G．設(shè)AF=x，則CN=2x，想辦法構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題．
（3）不存在．假設(shè)存在，推出矛盾即可．

解答 （1）證明：如圖2中，∵∠EMA=67.5°，∠BAE=90°
∴∠MEA=90°-∠EMA=90°-67.5°=22.5°，
∴∠MED=∠DEA-∠EMA=45°-22.5°=22.5°=∠MEA，
在△EMD和△EMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠EAM}\\{∠MED=∠MEA}\\{EM=EM}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△AEM．
（2）解：如圖2中，作FG⊥CB，垂足為G．設(shè)AF=x，則CN=2x．
在Rt△ABC中，∠C=60°，AB=6，∴AC=$\frac{AB}{tan60°}$=$\frac{6}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∴CF=2$\sqrt{3}$-x，
在Rt△CFG中，F(xiàn)G=CF•sin60°=2$\sqrt{3}$-x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴y=S_△ABC-S_△CFN=$\frac{1}{2}$AC•AB-$\frac{1}{2}$CN•FG，
=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$×6-$\frac{1}{2}$•2x•（3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-3x+6$\sqrt{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\sqrt{3}$）²+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴y的最小值為$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
（3）不存在．理由：
解：如圖3中，作NH⊥NH于H．
當(dāng)E、M、N共線時(shí)，∵NH∥AM，
∴$\frac{AM}{NH}$=$\frac{AE}{EH}$，
∴$\frac{t}{\sqrt{3}t}$=$\frac{6-t}{6-t+2\sqrt{3}-t}$，
解得t=-2$\sqrt{3}$，不合題意．
∴不存在某時(shí)刻，使E、M、N三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)、勾股定理、平行線性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)條件輔助線構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．