Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOP為等邊三角形，A（0，a），P（b，c），且（a-2）²+|b-$\sqrt{3}$|+c²-2c+1=0，點(diǎn)B為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BP為邊作等邊三角形△PBC．
（1）求證：OB=AC；
（2）求a，b，c的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，AE的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？為什么？
（4）在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△OPF是等腰三角形？若存在，求出F點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)可知：PA=OP，PB=PC，然后再證明∠OPB=∠APC，依據(jù)SAS證明△OPB≌△APC，從而得到OB=AC；
（2）將c²-2c+1變形為（c-1）²，然后依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）由△OPB≌△APC可知∠APC=60°，從而可知AE的長(zhǎng)度不會(huì)變化；
（4）分別以點(diǎn)O，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論即可．

解答 解：（1）∵△AOP、△PBC是等邊三角形，
∴PA=OP，PB=PC，∠OPA=∠BPC=60°．
∴∠OPA+∠APB=∠BPC+∠APB，即∠OPB=∠APC．
在△OPB和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=OP}\\{∠OPB=∠APC}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△OPB≌△APC．
∴OB=AC．
（2）∵（a-2）²+|b-$\sqrt{3}$|+c²-2c+1=0，
∴（a-2）²+|b-$\sqrt{3}$|+（c-1）²=0．
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
（3）∵△OPB≌△APC，
∴∠BOP=∠CAP=60°．
∴∠CAO=120°．
∵∠CAO為定值，
∴AE的長(zhǎng)度不會(huì)變化．
（4）如圖1所示：PO=PF，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OF．

∵OP=PF，PD⊥OF，
∴OD=DF．
∵∠POD=30°，PD⊥OD，
∴OD=OP×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴OF=2$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，0）．
如圖2所示：OP=OF．

∵OP=OF=2，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0）或（-2，0）．
如圖3所示：OF=FP，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥OP．

∵OF=FP，F(xiàn)D⊥OP，
∴OD=$\frac{1}{2}$OP=1．
在Rt△ODF中，OF=DO$÷\frac{\sqrt{3}}{2}$=1×$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）．
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，0）或（2，0）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）或（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．