Question

（1）已知拋物線y=ax²-2ax-2a+1分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，其頂點(diǎn)在直線y=-2x+6上，求拋物線的解析式；
（2）如圖，過BC上一點(diǎn)P作BC的垂線交拋物線于點(diǎn)M、N，若PM•PN=4，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）可先求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，再代入直線y=-2x+6可求得a值，可求得拋物線的解析式；
（2）由拋物線解析式可以求得B、C坐標(biāo)，即可求得直線BC解析式，設(shè)直線MN解析式為y=kx+b，P（x，x+b），M（x₁，x₁+b），N（x₂，x₂+b），
即可求得PM，PN的長，可得x（x₁+x₂）-x₁•x₂-x²=2，根據(jù)M，N為x+b=-x²+2x+3上的點(diǎn)，即可求得x₁+x₂、x₁•x₂ 的值，根據(jù)P是直線MN，BC交點(diǎn)，即可求得b的值，即可解題．

解答：解：（1）∵y=ax²-2ax-2a+1=a（x-1）²-3a+1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3a+1），
又∵頂點(diǎn)在直線y=-2x+6上，
∴-3a+1=-2+6，
解得a=-1．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）由（1）可知拋物線為y=-x²+2x+3，
∴可求得C（0，3），B（3，0），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+3，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得k=-1，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∴直線MN斜率為1，
設(shè)直線MN解析式為y=x+b，P（x，x+b），M（x₁，x₁+b），N（x₂，x₂+b），
則PM=

(x-x1)2+(x+b-x1-b)2

=

2

（x-x₁ ），
PN=

(x2-x)2+(x2+b-x-b)2

=

2

（x₂-x），
∵PM•PN=4，
∴

2

（x-x₁ ）•

2

（x₂-x）=4，即（x-x₁ ）•（x₂-x）=2，
展開得：x（x₁+x₂）-x₁•x₂-x²=2，
∵x₁、x₂ 均為x+b=-x²+2x+3上的點(diǎn)，
∴x₁+x₂=-

b

a

=1，x₁•x₂=

c

a

=b-3，
∴x+3-b-x²=2，整理得：x²-x+b-1=0，
解得：x=

1

2

（1±

5-4b

），
∵P點(diǎn)位于B、C兩點(diǎn)之間，
∴x＞0，
∴x=

1

2

（1+

5-4b

），
∵P是直線MN，BC交點(diǎn)，
∴

1

2

（1+

5-4b

）+b=-

1

2

（1+

5-4b

）+3，
整理得：b²=1，
∴b=1或-1，
當(dāng)b=1時(shí)，交點(diǎn)P坐標(biāo)為（

5

3

，

8

3

），
b=-1時(shí)，交點(diǎn)P坐標(biāo)為（

7

3

，

4

3

），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

3

，

8

3

）或（

7

3

，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線頂點(diǎn)的求解，考查了拋物線對(duì)稱軸的求解，考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了直線交點(diǎn)的求解，本題中求PM，PM的長是解題的關(guān)鍵．