Question

如圖三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，若∠BAC=60°．
（1）BC與BD滿足什么數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并證明．
（2）AB，AC，AD之間滿足什么數(shù)量關(guān)系寫？出結(jié)論并證明．（最后一問(wèn)要選擇不同證明方法證明）

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線和圓周角定理可知BD=CD，連接OD，則OD是BC的垂直平分線，利用勾股定理可找到BD和BC之間的關(guān)系；
（2）如圖2，作輔助線；證明△ADM≌△ADC，得到BM=CN；進(jìn)而得到AM與AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）BC=

3

BD，證明如下：
∵AC平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠BCD=∠CAD=∠DBC=30°，
∴BD=CD，
如圖1，連接OD交BC于點(diǎn)E，則OD⊥BC，且BE=CE，

在Rt△BDE中可得cos∠EBD=

BE

BD

=

3

2

，
同理可得

CE

CD

=

3

2

，
∴

CE

CD

+

BE

BD

=

3

，即

BC

BD

=

3

，
∴BC=

3

BD；
（2）AB+AC=

3

AD，證明如下：
方法一：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AC于點(diǎn)N，

DM⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M；
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，BD=CD，∠MAD=∠NAD（設(shè)為α），
∵cosα=

AM

AD

=

AN

AD

，
∴AM=AN；
∵∠MBD=∠NCD（設(shè)為β），
∴cosβ=

BM

BD

=

NC

DC

，而B(niǎo)D=CD，
∴BM=NC（設(shè)為λ），
∴AB+λ=AC-λ，
∴λ=

AC-AB

2

，AM=AB+λ=

AB+AC

2

；
∵cos30°=

AM

AD

，
∴AM=

3

2

AD，
∴AB+AC=

3

AD．
方法二，
如圖3，延長(zhǎng)AB到M，使AM=AC；

過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BM于點(diǎn)N；
在△ADM與△ADC中，

AM=AC ∠MAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ADM≌△ADC（SAS），
∴DM=DC；由（1）知：BD=DC，
∴DM=DB，MN=BN=

AC-AB

2

，
∴AN=AB+BN=

AB+AC

2

，
∴cos30°=

AN

AD

，AN=

3

2

AD，
∴AB+AC=

3

AD．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了圓周角定理及其推論、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答．