Question

如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，連接OD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)M，∠BOE=60°，cosC=

1

2

，BC=2

3

．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）求證：BC是⊙O的切線；
（3）求弧AM的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)即可得出∠A的度數(shù)．
（2）要證BC是⊙O的切線，只要證明AB⊥BC即可．
（3）根據(jù)垂徑定理求得∠AOM=60°，運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)求出OA的長(zhǎng)度，即可求得弧AM的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
∵∠BOE=∠A+∠OEA=2∠A，
∴∠A=

1

2

∠BOE=

1

2

×60°=30°；

（2）在△ABC中，∵cosC=

1

2

，
∴∠C=60°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB為直徑，
∴BC是⊙O的切線；

（3）∵點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，
∴OM⊥AE，
∵∠A=30°，
∴∠AOM=60°，
在RT△ABC中，tanC=

AB

BC

，
∵BC=2

3

，
∴AB=BC•tanC=2

3

×

3

=6，
∴OA=

AB

2

=3，
∴弧AM的長(zhǎng)=

60π×3

180

=π．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的知識(shí)、切線的判定以及弧形的長(zhǎng)度．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．