Question

如圖，△ACB為等腰直角三角形，AC⊥BC，AE∥BC，AF=AC，AM平分∠EAF．
（1）求證：∠AMC=45°；
（2）求證：AM⊥MB．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）設∠ACF=∠F=α，∠FAM=∠EAM=β；運用三角形的內(nèi)角和定理證明α+β=45°，即可解決問題．
（2）證明∠ABC=∠AMC，得到A、C、B、M四點共圓，進而得到∠AMB+∠ACB=180°，即可解決問題．

解答：證明：（1）∵AC=AF，AM平分∠EAF，
∴∠ACF=∠F（設為α），∠FAM=∠EAM（設為β）；
∵AC⊥BC，AE∥BC，
∴∠CAE+∠ACB=180°，∠ACB=90°，
∴∠CAE=90°；
∵∠CAF+∠F+∠ACF=180°，
∴2（α+β）+90°=180°，
∴α+β=45°，∠AMC=α+β=45°．
（2）∵△ACB為等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，而∠AMC=45°，
∴∠ABC=∠AMC，
∴A、C、B、M四點共圓，
∴∠AMB+∠ACB=180°，而∠ACB=90°，
∴∠AMB=90°，AM⊥MB．

點評：該題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及其應用問題；同時還滲透了對平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、四點共圓的判定等幾何知識點的考查問題；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了一定的要求．