Question

如圖，BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高，過(guò)D作DG⊥BC于G，分別交CE及BA的延長(zhǎng)線于F、H，求證：
（1）DG²=BG•CG；
（2）BG•CG=GF•GH．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形，證明△BDC∽△DGC，列出比例式，化為等積式即可解決問(wèn)題．
（2）方法同（1）中的解法，證明△BGH∽△FGC，列出比例式，化為等積式即可解決問(wèn)題．

解答：證明：（1）∵BD⊥AC，DG⊥BC，
∴∠BDC=∠DGC=90°，
∠DBC+∠DCG=∠GDC+∠DCG，
∴∠GDC=∠DBC，
∴△BDC∽△DGC，
∴BG：DG=DG：CG，
即DG²=BG•CG．
（2）同（1）中的方法，同理可證：△BGH∽△FGC，
∴BG：GF=GH：CG，
∴BG•CG=GF•GH．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是深入觀察分析、大膽猜測(cè)推理、合情變式探究、科學(xué)解答論證．