Question

14．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-4$\sqrt{5}$x+12+m=0．
（1）若方程的一個(gè)根是$\sqrt{5}$，求m的值及方程的另一根；
（2）若方程的兩根恰為等腰三角形的兩腰，而這個(gè)三角形的底邊為m，求m的值及這個(gè)等腰三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）可將該方程的已知根$\sqrt{5}$代入方程，求出m的值，即可求出方程的另一根，
（2）根據(jù)方程的兩根恰為等腰三角形的兩腰可得△=b²-4ac=0，列出式子，即可求實(shí)數(shù)m的值，再根據(jù)勾股定理可求底邊的高，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可求解．

解答 解：（1）∵x=$\sqrt{5}$是方程x²-4$\sqrt{5}$x+12+m=0的一個(gè)根
∴（$\sqrt{5}$）²-4$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$+12+m=0
解得：m=3
則方程為：x²-4$\sqrt{5}$x+15=0
解得：x₁=$\sqrt{5}$，x₂=3$\sqrt{5}$．
∴方程的另一根為3$\sqrt{5}$．
（2）若方程的兩根恰為等腰三角形的兩腰，則△=b²-4ac=0，
所以△=（-4$\sqrt{5}$）²-4（12+m）=0，
解得m=8，
則方程為：x²-4$\sqrt{5}$x+20=0，
解得x=2$\sqrt{5}$，
底邊的高為：$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-（8÷2）^{2}}$=2，
故面積為8×2÷2=8．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一元二次方程的解和根的判別式，解決此類題目時(shí)要認(rèn)真審題，根據(jù)根的判別式列出式子．