Question

16．對于一個三位正整數(shù)t，將各數(shù)位上的數(shù)字重新排序后（包括本身），得到一個新的三位數(shù)$\overline{abc}$（a≤c），在所有重新排列的三位數(shù)中，當|a+c-2b|最小時，稱此時的$\overline{abc}$為t的“最優(yōu)組合”，并規(guī)定F（t）=|a-b|-|b-c|，例如：124重新排序后為：142、214、因為|1+4-4|=1，|1+2-8|=5，|2+4-2|=4，所以124為124的“最優(yōu)組合”，此時F（124）=-1．
（1）三位正整數(shù)t中，有一個數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù)，求證：F（t）=0
（2）一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除，它的前兩位數(shù)能被2整除，前三位數(shù)能被3整除，…，一直到前N位數(shù)能被N整除，我們稱這樣的數(shù)為“善雅數(shù)”．例如：123的第一位數(shù)1能披1整除，它的前兩位數(shù)12能被2整除，前三位數(shù)123能被3整除，則123是一個“善雅數(shù)”．若三位“善雅數(shù)”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y為整數(shù)），m的各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，求出所有符合條件的“善雅數(shù)”中F（m）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三位正整數(shù)t中，有一個數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù)，根據(jù)“最優(yōu)組合”的定義即可求解；
（2）由三位“善雅數(shù)”的定義，可得a為偶數(shù)，且2+x+y是3的倍數(shù)，且2+x+y＜30，又由m的各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，可得2+x+y=3²=9，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵三位正整數(shù)t中，有一個數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù)，
∴重新排序后：其中兩個數(shù)位上數(shù)字的和是一個數(shù)位上的數(shù)字的2倍，
∴a+c-2b=0，
∴F（t）=0；
∵（2）∵m=200+10x+y是“善雅數(shù)”，
∴x為偶數(shù)，且2+x+y是3的倍數(shù)，
∵x＜10，y＜10，
∴2+x+y＜30，
∵m的各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，
∴2+x+y=3²=9，
∴當x=0時，y=7，
當x=2時，y=5，
當x=4時，y=3，
當x=6時，y=1，
∴所有符合條件的“善雅數(shù)”有：207，225，243，261，
∴所有符合條件的“善雅數(shù)”中F（m）的最大值是|2+7-0×2|=9．

點評 此題考查了完全平方數(shù)的應用問題．注意掌握數(shù)的整除問題，注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．