Question

3．小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²，善于思考的小明進行了以下探索：
設(shè)a+b$\sqrt{2}$=（m+n$\sqrt{2}$）²（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b$\sqrt{2}$=m²+2n²+2mn$\sqrt{2}$，∴a=m²+2n²，b=2mn，這樣小明就找到了一種把部分a+b$\sqrt{2}$的式子化為平方式的方法．
請我仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²，用含m、n的式子分別表示a、b，得a=m²+3n²，b=2mn．
（2）若a+4$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式將原式變形得出m，n的值，進而得出答案．

解答 解：（1）∵a+b$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²，
∴a+b$\sqrt{3}$=m²+3n²+2$\sqrt{3}$mn，
∴a=m²+3n²，b=2mn；
故答案為：m²+3n²，2mn；

（2）由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{a={m}^{2}+3{n}^{2}}\\{4=2mn}\end{array}\right.$，
∵4=2mn，且m、n為正整數(shù)，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
∴a=2²+3×1²=7或a=1²+3×2²=13．

點評 此題主要考查了二次根式的混合運算以及完全平方公式，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．