Question

15．如圖，∠ACD是△ABC的外角，第1次操作：∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A₁；第2次操作：∠A₁BC的平分線與∠A₁CD的平分線交于點(diǎn)A₂，…第n次操作：∠A_n-1BC的平分線與∠A_n-1CD的平分線交于點(diǎn)A_n，則∠A₂與∠A之間的數(shù)量關(guān)系是∠A₂=$\frac{1}{4}$∠A；若∠A=64°，∠A_n≤4°，則n的取值范圍是n≥4．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可求出∠A₁的度數(shù)，同理求出∠A₂；
（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)后一個角等于前一個角的$\frac{1}{2}$的規(guī)律即可得∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，再把∠A=64°代入∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A≤4°解答即可．

解答 解：∵A₁B是∠ABC的平分線，A₁C是∠ACD的平分線，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{4}$∠A；
根據(jù)以上規(guī)律可得∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，
當(dāng)∠A=64°，∠A_n≤4°時，$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A≤4°，
解得n≥4，
故答案為：∠A₂=$\frac{1}{4}$∠A，n≥4．

點(diǎn)評 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD是解答此題的關(guān)鍵．