Question

12．如圖，將矩形紙片ABCD（AD＞AB）折疊，使點C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC，AD相交，設(shè)折疊后點C，D的對應(yīng)點分別為點G，H，折痕分別與邊BC，AD相交于點E，F(xiàn)．
（1）判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若AB=3，BC=9，求線段CE的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，易證得△EFG是等腰三角形，即可得GF=EC，又由GF∥EC，即可得四邊形CEGF為平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得四邊形BGEF為菱形；
（2）如圖2，當G與A重合時，CE取最大值，由折疊的性質(zhì)得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，推出四邊形CEGD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到CE=CD=AB=3；如圖1，當F與D重合時，CE取最小值，由折疊的性質(zhì)得AE=CE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GFE=∠FEC，
∵圖形翻折后點G與點C重合，EF為折線，
∴∠GEF=∠FEC，
∴∠GFE=∠FEG，
∴GF=GE，
∵圖形翻折后BC與GE完全重合，
∴BE=EC，
∴GF=EC，
∴四邊形CEGF為平行四邊形，
∴四邊形CEGF為菱形；

（2）由（1）得四邊形CEGF是菱形，
∴CE=CD=AB=3；
如圖2，當G與A重合時，CE取最大值，
由折疊的性質(zhì)得AE=CE，
∵∠B=90°，
∴AE²=AB²+BE²，即CE²=3²+（9-CE）²，
∴CE=5，
∴線段CE的取值范圍3≤CE≤5．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，菱形的判定，線段的最值問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．