Question

2．如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小紅在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點(diǎn)D處測(cè)得樓頂B的仰角為45°，其中點(diǎn)A、C、E在同一直線上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大樓AB的高度（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）在直角三角形DCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)即可；
（2）過D作DF垂直于AB，交AB于點(diǎn)F，可得出三角形BDF為等腰直角三角形，設(shè)BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由題意得到三角形BCD為直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$DC=2米；
（2）過D作DF⊥AB，交AB于點(diǎn)F，
∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，
∴∠BFD=45°，即△BFD為等腰直角三角形，
設(shè)BF=DF=x米，
∵四邊形DEAF為矩形，
∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴BC=$\frac{AB}{cos30°}$=$\frac{x+2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2x+4}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}（2x+4）}{3}$米，
BD=$\sqrt{2}$BF=$\sqrt{2}$x米，DC=4米，
∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，
∴∠DCB=90°，
在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得：2x²=$\frac{（2x+4）^{2}}{3}$+16，
解得：x=4+4$\sqrt{3}$，
則AB=（6+4$\sqrt{3}$）米．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了解直角三角形-仰角俯角問題，坡度坡角問題，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．