Question

4．愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．
【特例探究】
（1）如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4$\sqrt{2}$時，a=4$\sqrt{5}$，b=4$\sqrt{5}$；
如圖2，當(dāng)∠PAB=30°，c=2時，a=$\sqrt{7}$，b=$\sqrt{13}$；
【歸納證明】
（2）請你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a²、b²、c²三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論．
【拓展證明】
（3）如圖4，?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點(diǎn)G，AD=3$\sqrt{5}$，AB=3，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）①首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問題．
②連接MN，在RT△PAB，RT△PMN中，利用30°性質(zhì)求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問題．
（2）結(jié)論a²+b²=5c²．設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a²、b²、c²即可解決問題．
（3）取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn)，首先證明△ABF是中垂三角形，利用（2）中結(jié)論列出方程即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，
∴PN=PM=2，PB=PA=4，
∴AN=BM=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴b=AC=2AN=4$\sqrt{5}$，a=BC=4$\sqrt{5}$．
故答案為4$\sqrt{5}$，4$\sqrt{5}$，
如圖2中，連接NM，
，∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵∠PAB=30°，
∴PB=1，PA=$\sqrt{3}$，
在RT△MNP中，∵∠NMP=∠PAB=30°，
∴PN=$\frac{1}{2}$，PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AN=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，BM=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴a=BC=2BM=$\sqrt{7}$，b=AC=2AN=$\sqrt{13}$，
故答案分別為$\sqrt{7}$，$\sqrt{13}$．
（2）結(jié)論a²+b²=5c²．
證明：如圖3中，連接MN．
∵AM、BN是中線，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB，
∴△MPN∽△APB，
∴$\frac{MP}{AP}$=$\frac{PN}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，
∴a²=BC²=4BM²=4（MP²+BP²）=4x²+16y²，
b²=AC²=4AN²=4（PN²+AP²）=4y²+16x²，
c²=AB²=AP²+BP²=4x²+4y²，
∴a²+b²=20x²+20y²=5（4x²+4y²）=5c²．

（3）解：如圖4中，在△AGE和△FGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠FGB}\\{∠AEG=∠FBG}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn)，
同理可證△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四邊形CEPF是平行四邊形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）可知AB²+AF²=5BF²，
∵AB=3，BF=$\frac{1}{3}$AD=$\sqrt{5}$，
∴9+AF²=5×（$\sqrt{5}$）²，
∴AF=4．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會利用新的結(jié)論解決問題，屬于中考壓軸題．