Question

8．如圖，在△ABC中，D是AB邊的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證：DB=CF；
（2）當(dāng)△ABC滿足AC=BC時(shí)（請(qǐng)?zhí)砑右粭l件），四邊形BDCF為矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠EAD=∠CFE，根據(jù)AAS證△AED≌△FEC，推出AD=CF，根據(jù)AD=BD即可求出答案；
（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠CDB=90°，根據(jù)平行四邊形的判定推出平行四邊形BDCF，即可推出四邊形是矩形．

解答 （1）證明：∵CF∥AB，
∴∠EAD=∠CFE，
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴CE=DE，
∵在△AED和△FEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠CFE}\\{∠CEF=∠DEA}\\{CE=ED}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AD=CF，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴BD=CF．

（2）解：在△ABC中添加一個(gè)條件：AC=BC，使四邊形BDCF為矩形，
理由是：∵BD=CF，CF∥AB，
∴四邊形BDCF是平行四邊形，
∵AC=BC，D為AB中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴平行四邊形BDCF是矩形，
故答案為：AC=BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形、平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，主要考查學(xué)生能否熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理，題型較好，難度適中．