Question

11．探究：如圖1，△ABC是等邊三角形，在邊CB、AC的延長(zhǎng)線上截取BE=CD，連結(jié)BD、AE，延長(zhǎng)DB交AE于點(diǎn)F．
（1）求證：△BAE≌△CBD；
（2）∠BFE=120°．
應(yīng)用：將圖1的△ABC分別改為正方形ABCM和正五邊形ABCMN，如圖2、3，在邊CB、MC的延長(zhǎng)線上截取BE=CD，連結(jié)BD、AE，延長(zhǎng)DB交AE于點(diǎn)F，則圖2中∠BFE=90°；圖3中∠BFE=72°．
拓展：若將圖1的△ABC改為正n邊形，其它條件不變，則∠BFE==（$\frac{360}{n}$）°（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 探究：（1）根據(jù)△BCA是等邊三角形，得出BC=AB，∠ACB=∠ABC=60°，進(jìn)而得到∠BCD=∠ABE=120°，從而得到△CBD≌△BAE（SAS）；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用三角形的內(nèi)角和定理，即可得出∠BFE=∠BCD，進(jìn)而得解；
應(yīng)用：利用正方形（或正五邊形）的性質(zhì)得到BC=AB，∠BCD=∠ABE，從而判斷出△CBD≌△BAE（SAS）；再利用全等三角形的性質(zhì)得到∠CDN=∠BCM，再利用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用三角形的內(nèi)角和定理，即可得出∠BFE=∠BCD，進(jìn)而得解；
拓展：利用相同的方法可得出全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用三角形的內(nèi)角和，即可得出∠BFE的度數(shù)為正n邊形的外角度數(shù)．

解答 探究：（1）解：∵△BCA是等邊三角形，
∴BC=AB，∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠BCD=∠ABE=120°，
在△CBD和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠BCD=∠ABE}\\{CD=BE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△BAE（SAS）；
（2）解：∵△CBD≌△BAE，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠DBC，
∴∠BFE=∠BCD，
又∵∠BCD=180°-60°=120°，
∴∠BFE=120°，
故答案為120；

應(yīng)用：圖2中，根據(jù)SAS易證△CBD≌△BAE，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠DBC，
∴∠BFE=∠BCD，
又∵∠BCD=180°-90°=90°，
∴∠BFE=90°，
圖3中，根據(jù)SAS易證△CBD≌△BAE，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠DBC，
∴∠BFE=∠BCD，
又∵∠BCD=180°-108°=72°，
∴∠BFE=72°，
故答案為90°；72°． 

拓展：若將圖1的△ABC改為正n邊形，其它條件不變，則∠BFE的度數(shù)為正n邊形的外角度數(shù)，
即∠BFE=（$\frac{360}{n}$）°，
故答案為：（$\frac{360}{n}$）°

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，也是一道規(guī)律題，主要考查了正n邊形的性質(zhì)，解題時(shí)需要運(yùn)用等邊三角形、正方形、正五邊形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行推導(dǎo)，并找出規(guī)律．