Question

4．若自然數(shù)x，y滿足x＞y，x+y=2A，xy=G²，若A，G都是兩位數(shù)，且互為反序數(shù)，求x，y．（注：數(shù)字排列順序相反的兩個數(shù)互為反序數(shù)，如12和21）

Answer 1

分析 設(shè)A=10a+b，則G=10b+a，其中a和b都是1到9的自然數(shù)，則求出（x+y）²=400a²+80ab+4b²，（x-y）²=2²×3²×11（a+b）（a-b），求出x-y=66，x+y=130，解方程組求出即可．

解答 解：設(shè)A=10a+b，則G=10b+a，其中a和b都是1到9的自然數(shù)，則
x+y=20a+2b，xy=（10b+a）²=100b²+20ab+a²，
∴（x+y）²=（20a+2b）²=400a²+80ab+4b²，
（x-y）²=（x+y）²-4xy=396a²-396b²=2²×3²×11（a+b）（a-b），
因為x、y都是自然數(shù)，所以（x-y）²是完全平方數(shù)，
所以（a+b）和（a-b）中必有一個是11的倍數(shù)，
∵a和b都是1到9的自然數(shù)，
∴a+b=11，
于是a-b也是一個完全平方數(shù)，
只能a=6，b=5，
所以（x-y）²=（2×3×11）²，
∴x-y=66，
x+y=20a+2b=130，
解得：x=98，y=32．

點評 本題考查了解二元一次方程組，完全平方公式的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǖ贸鰔-y和x+y的值是解此題的關(guān)鍵．