Question

17．如圖，在△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AB于M，弦MN∥AC且MN交BC于點(diǎn)E，ME=1，BM=2，BE=$\sqrt{3}$．
（1）求證AC是⊙O的切線；
（2）求弧NC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理的逆定理證明∠BEM=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACB=90°，根據(jù)切線的判定定理證明；
（2）根據(jù)正弦的定義和垂徑定理求出∠CON=60°，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵M(jìn)E=1，BM=2，BE=$\sqrt{3}$，
∴ME²+BE²=1+3=4，BM²=4，
∴ME²+BE²=BM²，
∴∠BEM=90°，又MN∥AC，
∴∠ACB=∠BEM=90°，
∴AC是⊙O的切線；
（2）連接ON，
∵∠BEM=90°，ME=1，BM=2，
∴∠B=30°，$\widehat{MC}$=$\widehat{NC}$，NE=ME=1，
∴∠CON=60°，
ON=$\frac{EN}{sin∠CON}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故弧NC的長(zhǎng)度為：$\frac{60×π×\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}π}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的判定、垂徑定理、弧長(zhǎng)的計(jì)算、勾股定理的逆定理，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線、弧長(zhǎng)公式：l=$\frac{nπR}{180}$（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）是解題的關(guān)鍵．