Question

17．如圖，已知A（0，4），E（8，0），點(diǎn)P（a，0）是線段OE上的動點(diǎn)，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)，以BP為邊向右邊作正方形PBCD，過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，連接DE．
（1）判斷DF，BM，MF之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段OE（點(diǎn)O，點(diǎn)E除外）上運(yùn)動時，設(shè)△PDE的面積為S，寫出S與a的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時，△PDE的面積最大，最大是多少？

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：MF=DF+BM．只要證明△PBM≌△DPF，即可推出PM=DF，BM=PF，由此即可解決問題；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)，求出OF、DF的長即可解決問題；
（3）構(gòu)建二次函數(shù)．利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：MF=DF+BM．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴PB=PD，∠BPD=90°，
∵BM⊥OE，DF⊥OE，
∴∠BMP=∠DFP=90°，
∵∠BPM+∠DPF=90°，∠MBP+∠BPM=90°，
∴∠MBP=∠DPF，
∴△PBM≌△DPF，
∴PM=DF，BM=PF，
∴MF=MP+PF=DF+BM．

（2）∵A（0，4），P（a，0），
∴OA=4，OP=a，
∵B為AP的中點(diǎn)，
∴B（$\frac{a}{2}$，2），BM=PF=2，OM=PM=DF=$\frac{1}{2}$a，
∴D（a+2，$\frac{a}{2}$）．

（3）由題意S=$\frac{1}{2}$•PE•DF=$\frac{1}{2}$（8-a）•$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{4}$a（8-a）=-$\frac{1}{4}$（a-4）²+4，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴a=4時，S有最大值4．
∴當(dāng)P運(yùn)動到P（4，0）時，△PDE的面積最大，最大面積為4．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題．