Question

20．在平面直角坐標系xOy（如圖）中，經(jīng)過點A（-1，0）的拋物線y=-x²+bx+3與y軸交于點C，點B與點A、點D與點C分別關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．
（1）求b的值以及直線AD與x軸正方向的夾角；
（2）如果點E是拋物線上一動點，過E作EF平行于x軸交直線AD于點F，且F在E的右邊，過點E作EG⊥AD與點G，設E的橫坐標為m，△EFG的周長為l，試用m表示l；
（3）點M是該拋物線的頂點，點P是y軸上一點，Q是坐標平面內(nèi)一點，如果以點A、M、P、Q為頂點的四邊形是矩形，求該矩形的頂點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）將點A（-1，0）代入拋物線的解析式可求得b的值，然后可得到拋物線的解析式，從而可求得拋物線的對稱軸，再依據(jù)對稱性可求得D（2，3），B（3，0），最后依據(jù)待定系數(shù)法求得AD的解析式可求得直線AD與x軸正方向的夾角；
（2）設E（m，-m²+2m+3），則F（-m²+2m+2，-m²+2m+3），EF=-m²+m+2．然后證明△EFG為等腰直角三角形，從而得到EF=（1+$\sqrt{2}$）EF，于是可求得l與m的關(guān)系式；
（3）先利用配方法求得點M的坐標，然后根據(jù)①AM為矩形的對角線時，②當AM為矩形的一邊時兩種情況求解即可．

解答 解：（1）∵將點A（-1，0）代入拋物線的解析式得：-1-b+3=0，解得：b=2，
∴y=-x²+2x+3．
∴拋物線的對稱軸為直線x=1．
令x=0得：y=3，則C（0，3）．
∵點B與點A、點D與點C分別關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，
∴D（2，3），B（3，0）．
設直線AD的解析式為y=kx+b．
∵將A（-1，0）、D（2，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=1，
∴直線AD的解析式為y=x+1．
∴直線AD與x軸正方向的夾角為45°．
（2）如圖1所示：

設E（m，-m²+2m+3），則F（-m²+2m+2，-m²+2m+3），EF=-m²+2m+2-m=-m²+m+2．
∵∠EGF=90°，∠EFG=45°，
∴△EFG為等腰直角三角形．
∴l(xiāng)=EF+FG+EG=EF+$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF+$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=（1+$\sqrt{2}$）EF=（1+$\sqrt{2}$）（-m²+m+2）=-（$\sqrt{2}+1$）m²+（$\sqrt{2}$+1）m+2$\sqrt{2}$+2．
（3）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4）．
①AM為矩形的對角線時，如圖2所示：

∵由矩形的性質(zhì)可知：N為AM的中點，A（-1，0），M（1，4），
∴N（0，2）．
∵由兩點間的距離公式可知：MN=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴NQ₁=NQ₂=$\sqrt{5}$，
∴Q₁（0，2+$\sqrt{5}$），Q₂（0，2-$\sqrt{5}$）．
②當AM為矩形的一邊時，如圖3所示：過Q₃作Q₃E⊥y軸，垂直為E，過Q₄作Q₄F⊥y軸，垂足為F．

∵在△ANO中，AO=1，ON=2，
∴tan∠ANO=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠MNP₄=$\frac{1}{2}$，
∴P₄M$\frac{1}{2}$MN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，NP₄=$\frac{\sqrt{5}}{2}$MN=$\frac{5}{2}$．
∴P₄Q₃=$\sqrt{5}$．
∴P₄E=$\frac{\sqrt{5}}{5}$P₄Q₃=1，EQ3=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$P₄Q₃=2．
∵OE=OP₄-P₄E=4.5-1=3.5，
∴Q₃的坐標為（2，3.5）．
∵點Q₃與Q₄關(guān)于點N對稱，
∴Q₄（-2，$\frac{1}{2}$）．
綜上所述，點Q的坐標為（0，2+$\sqrt{5}$），或（0，2-$\sqrt{5}$）或（2，3.5）或（-2，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法求拋物線的頂點坐標、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．