Question

12．閱讀理解：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵（$\sqrt{a}-\sqrt$）²≥0，∴a-2$\sqrt{ab}+b≥0$，∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．
結(jié)論：在a+b$≥2\sqrt{ab}$（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值P，則a+b$≥2\sqrt{P}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，a+b有最小值2$\sqrt{P}$．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：
（1）若x＞0，只有當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，4x+$\frac{9}{x}$有最小值為12．
（2）探索應(yīng)用：如圖，已知A（-2，0），B（0，-3），點(diǎn)P為雙曲線y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D，求四邊形ABCD面積的最小值，并說(shuō)明此時(shí)四邊形ABCD的形狀．
（3）已知x＞0，則自變量x為何值時(shí)，函數(shù)y=$\frac{x}{{x}^{2}-4x+16}$取到最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）直接利用a+b≥2$\sqrt{ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立；求解即可求得答案；
（2）首先設(shè)P（x，$\frac{6}{x}$），則C（x，0），D（0，$\frac{6}{x}$），可得S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$（x+2）（$\frac{6}{x}$+3），然后利用a+b≥2$\sqrt{ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立求解即可求得答案；
（3）首先將原式變形為y=$\frac{x}{{x}^{2}-4x+16}$=$\frac{1}{x+\frac{16}{x}-4}$，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵4x+$\frac{9}{x}$≥2×$\sqrt{4x×\frac{9}{x}}$=12，當(dāng)且僅當(dāng)4x=$\frac{9}{x}$時(shí)，等號(hào)成立，
∵x＞0，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴若x＞0，只有當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，4x+$\frac{9}{x}$有最小值為12；
故答案為：$\frac{3}{2}$，12；

（2）設(shè)P（x，$\frac{6}{x}$），則C（x，0），D（0，$\frac{6}{x}$），
∴BD=$\frac{6}{x}$+3，AC=x+2，
∴S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$（x+2）（$\frac{6}{x}$+3）=6+$\frac{3}{2}$x+$\frac{6}{x}$≥6+2$\sqrt{\frac{3x}{2}×\frac{6}{x}}$=12，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3}{2}$x=$\frac{6}{x}$，即x=2時(shí)，四邊形ABCD面積的最小值為12，
∴OB=OD=3，OA=OC=2，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形；

（3）∵x＞0，
∴y=$\frac{x}{{x}^{2}-4x+16}$=$\frac{1}{x-4+\frac{16}{x}}$=$\frac{1}{x+\frac{16}{x}-4}$≤$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{16}{x}}-4}$=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{16}{x}$，即x=4時(shí)，函數(shù)y=$\frac{x}{{x}^{2}-4x+16}$取到最大值，最大值為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、菱形的判定以及閱讀應(yīng)用問(wèn)題．注意準(zhǔn)確理解a+b≥2$\sqrt{ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立是關(guān)鍵．