Question

12．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=$\sqrt{6}$，則AE=2（提示：可過點A作BD的垂線）

Answer 1

分析 過A作AF⊥BD，交BD于點F，由三角形ABD為等腰直角三角形，利用三線合一得到AF為中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AF的長，在直角三角形AEF中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AE的長即可．

解答 解：過A作AF⊥BD，交BD于點F，
∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴AF為BD邊上的中線，
∴AF=$\frac{1}{2}$BD，
∵AB=AD=$\sqrt{6}$，
∴根據(jù)勾股定理得：BD=$\sqrt{6+6}$=2$\sqrt{3}$，
∴AF=$\sqrt{3}$，
在Rt△AFE中，∠EAF=∠DCA=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE，
設(shè)EF=x，則有AE=2x，
根據(jù)勾股定理得：x²+3=4x²，
解得：x=1，
則AE=2．
故答案為：2

點評 此題考查了勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．