Question

20．已知：△ABC是正三角形，且邊長為1，點E是直線AB上的一個動點，過點E作BC的平行線交直線AC于點F，將線段EC繞點E旋轉(zhuǎn)，使點C落在直線BC上的點D處；
（1）當點E在△ABC的邊AB上時，
①求證：AE=BD；
②設(shè)梯形EDCF的面積為S，當S達到最大值時，求∠ECB的正切值．
（2）當點E不在邊AB上時，由A、D、E、C四點圍成的四邊面積能否為$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$？若能，求出AE長；若不能請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①有兩種方法，易證明△AEF是正三角形，則AE=AF=EF，再證明△EDB≌△CEF，從而得出AE=BD；
②過點E作EH⊥DC于點H，設(shè)AE=x，則得出s與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)頂點坐標，得出當x=$\frac{1}{4}$時，S有最大值，求得BE，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得出∠ECB的正切值；
（2）當點E在BA延長線上，且AE＜1時；當點E在BA延長線上，且AE＞1時；當點E在AB延長線上時．共三種情況，當點E不在邊AB上時，由A、D、E、C四點圍成的四邊面積能為$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$，設(shè)AE=x，分以下三種情況討論：第一種情況：當點E在BA延長線上，且AE＜1時；由（1）第①同理可得AE=BD，S_{四邊形ADCE}=S_△BCE-S_△BDA；第二種情況：當點E在BA延長線上，且AE＞1時，S_{四邊形AEDC}=S_△BDE-S_△BAC；第三種情況：當點E在AB延長線上時，S_{四邊形ADECC}=S_△ADC+S_△EDC；
根據(jù)以上三種情況可得出當AE=$\frac{{-1+5\sqrt{5}}}{2}$或5時，由A、D、E、C四點圍成的四邊面積為$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$．

解答 解：方法一：如圖在正ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴△AEF是正三角形，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF，
又∵∠ABC=∠EDB+∠BED═60°，
∠ACB=∠ECB+∠FCE═60°，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∴∠BED=∠FCE，
∴△EDB≌△CEF，
DB=EF，
∴AE=BD；
方法二：：如圖，在正ABC中，∠ABC=∠ACB=60°∠ABD=120°，
又∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∴∠BED=∠FCE，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴△AEF是正三角形，∠EFC=180°-∠ACB=120°，
∴△EDB≌△CEF，
DB=EF，
∴AE=BD，
②過點E作EH⊥DC于點H，
設(shè)AE=x，則s=$\frac{1}{2}$（EF+DC）×EH=$\frac{1}{2}$（x+x+1）×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（1-x），
=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$x²+$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$x+$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
當x=$\frac{1}{4}$時，有最大值；
此時，EB=$\frac{3}{4}$，則EH=$\frac{{3\sqrt{3}}}{8}$，BH=$\frac{3}{8}$，CH=$\frac{5}{8}$，
tan∠ECB=$\frac{EH}{CH}$=$\frac{{\frac{{3\sqrt{3}}}{8}}}{{\frac{5}{8}}}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$，

（2）當點E在BA延長線上，且AE＜1時；當點E在BA延長線上，且AE＞1時；當點E在AB延長線上時．共三種情況．
當點E不在邊AB上時，由A、D、E、C四點圍成的四邊面積能為$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$，具體解答過程如下：
設(shè)AE=x，分以下三種情況討論：

第一種情況：當點E在BA延長線上，且AE＜1時；由（1）第①同理可得AE=BD，
S_{四邊形ADCE}=S_△BCE-S_△BDA
=$\frac{1}{2}$×BE×BC×sin60°-$\frac{1}{2}$×BE×BC×sin60°
=$\frac{1}{2}$×（x+1）×1×sin60°-$\frac{1}{2}$x×1×sin60°
=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$≠$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$，不成立；
第二種情況：當點E在BA延長線上，且AE＞1時；
S_{四邊形AEDC}=S_△BDE-S_△BAC
=$\frac{1}{2}$×BE×BD×sin60°-$\frac{1}{2}$×BA×BC×sin60°
=$\frac{1}{2}$×（x+1）×x×sin60°-$\frac{1}{2}$×1×1×sin60°
=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$（x²+x-1）；

由題意得：$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$（x²+x-1）=$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$
解得：x₁=$\frac{{-1+5\sqrt{5}}}{2}$，x₁=$\frac{{-1-5\sqrt{5}}}{2}$（舍去）；

第三種情況：當點E在AB延長線上時；
S_{四邊形ADECC}=S_△ADC+S_△EDC
=$\frac{1}{2}$×DC×AM+$\frac{1}{2}$×DC×EN
=$\frac{1}{2}$DC×AE×sin60°
=$\frac{1}{2}$×（x+1）×x×sin60°
=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$（x²+x），
得：$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$（x²+x）=$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$
解得：x₁=5，x₂=-6（舍去）
綜上所述，當AE=$\frac{{-1+5\sqrt{5}}}{2}$或5時，由A、D、E、C四點圍成的四邊面積為$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查了幾何變換綜合題，涉及的知識點等邊三角形的判定、全等三角形的判定、二次函數(shù)的最值問題和三角函數(shù)的定義，綜合性強，難度較大，解答時，需要學生具有綜合運用知識的能力．