Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，2），M（6，4），N（8，8），動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸以每秒2個(gè)單位長度的速度向上移動，且過點(diǎn)P的直線l：y=-x+b也隨之移動，設(shè)移動時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=3時(shí)，求l的解析式；
（2）若點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)，確定t的取值范圍；
（3）直接寫出t為何值時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上．

Answer 1

分析 （1）由動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸以每秒2個(gè)單位長度的速度向上移動，結(jié)合t=3可求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)點(diǎn)M、N，分別利用待定系數(shù)法求出直線l過點(diǎn)M和過點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)“時(shí)間t=（點(diǎn)P的縱坐標(biāo)-2）÷2”即可得出時(shí)間t，由此即可得出結(jié)論；
（3）令點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)為M′，分點(diǎn)M′在x軸上和點(diǎn)M′在y軸上兩種情況考慮，根據(jù)等腰直角三角形的以及軸對稱圖形的性質(zhì)即可找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由此即可得出時(shí)間t的值．

解答 解：（1）當(dāng)t=3時(shí)，P（0，8），
將點(diǎn)P（0，8）代入y=-x+b中，得：b=8，
∴直線l的解析式為y=-x+8．
（2）將點(diǎn)M（6，4）代入y=-x+b中，得：4=-6+b，解得：b=10，
此時(shí)P（0，10），t=$\frac{10-2}{2}$=4；
將點(diǎn)N（8，8）代入y=-x+b中，得：8=-8+b，解得：b=16，
此時(shí)P（0，16），t=$\frac{16-2}{2}$=7．
故當(dāng)點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)時(shí)，時(shí)間t的取值范圍為4＜t＜7．
（3）點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)M′落在坐標(biāo)軸上分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)M′在x軸上時(shí)，△MBM′為等腰直角三角形，
∵M(jìn)（6，4），
∴B（6，0），
∴直線l：y=-x+6，
∴P（0，6），此時(shí)時(shí)間t=$\frac{6-2}{2}$=2；
②當(dāng)點(diǎn)M′在y軸上時(shí)，△MBM′為等腰直角三角形，
∵M(jìn)（6，4），
∴B（6，-2），
∴直線l：y=-x+4，
∴P（0，4），此時(shí)時(shí)間t=$\frac{4-2}{2}$=1．
綜上可知：當(dāng)時(shí)間t為1秒或2秒時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)以及軸對稱圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）分別求出點(diǎn)M、N在直線l上時(shí)的時(shí)間t值；（3）分點(diǎn)M′在x軸、y軸上兩種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是關(guān)鍵．